화학반응에서 찾아본 미적분

※ 다음 글을 읽고 논제에 답하시오.

과학을 배우는 데 있어 현재 고등학교 교과과정은 미적분을 사용하지 않지만 대학 이상의 과정에서는 과학을 다루는 데 미적분은 필수적인 도구다.

가속도가 인 물체가 있다고 하자. 가속도는 시간에 따른 속도의 변화율이므로

이고 아주 짧은 시간에서의 속도의 변화율을 생각하면 이다.

이제 위의 식을 로 바꾸고 양변을 적분하면

(는 적분상수) 가 된다.

이제 적분상수를 구하기 위하여 일 때의 속도를 라 하면

또는

와 같다. 이 식은 물리시간에 모두 배웠으리라 생각한다.

다시 위의 식을 미분 형태로 만들어 보자.

속도는 시간에 따른 위치의 변화율이므로

마찬가지로 아주 짧은 시간에서의 위치의 변화율은 이다.

에 위 식을 적용하면

이다. 다시

로 정리할 수 있고, 양 변을 적분하면

와 같은 식을 얻을 수 있다.

일 때의 위치를 라 하면

임을 알 수 있다.

이와 같은 ‘과학 속의 수학’이 실제로 어떻게 작용하는지 살펴보자. 화학변화의 종류는 크게 0차, 1차, 2차, 3차 반응의 네 가지로 나누어 생각할 수 있다.

0차 반응이란 A→B가 되는 반응에서 반응속도가 반응물질의 농도에 관계없이 일정한 반응을 말하며, 그 종류로는 생체 내 효소에 의한 반응이 있다. 1차 반응은 A→B가 되는 반응에서 반응속도식이 로 표현된다. 1차 반응은 반응물질을 이루는 분자 내 원자들의 재배열에 의해 화학변화가 일어나는 경우로 대표적인 화학반응으로는 열분해반응이 있다. 가령, 와 같은 화학식으로 표현된다.

2차 반응은 A+B→C+D 가 되는 반응에서 반응속도식이 , 또는

로 표현되는 반응으로 이와 같은 반응은 분자 간의 충돌이 일어나야 하며 일반적인 거의 모든 화학변화가 이에 속한다. 때에 따라 3차 반응이 일어나는 경우도 있는데 3차 반응은 3개의 분자가 동시에 충돌이 일어나야 하는 경우로 매우 드문 경우라 할 수 있겠다.

‘2A→생성물’ 과 같은 이차반응에서의 반응속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

--------- ①

단, 는 속도상수

여기서 일 때 A의 초기농도가 , t시간 경과하였을 때의 A의 농도를 라고 하면 위 식은 다음과 같은 적분형의 식으로 나타낼 수 있다.

-----------②

논제) 위의 제시문을 참고하여 ①에서 ②로 유도되는 과정을 설명하시오.

반응속도는 시간에 따른 반응물의 감소율이므로 로 나타낼 수 있다.

①을 다시 표시하면

로 변형한 뒤 양 변을 적분하는 데 일 때 A의 초기농도가 , t시간 경과하였을 때의 A의 농도를 이므로 이 구간을 정적분하면

이 식을 다시 정리하면

곧 ②가 됨을 유도할 수 있다.

/신우형, ㈜엘림에듀 집필위원·위즈만 아카데미 대표